Qué son el mcm y el mcd
El mínimo común múltiplo (mcm) de varios números es el menor número que es múltiplo de todos ellos. El máximo común divisor (mcd) es el mayor número que los divide a todos sin dejar resto.
Los dos se calculan fácilmente descomponiendo cada número en factores primos, que es lo que hace esta calculadora y lo que te muestra paso a paso.
Cómo se calculan con factores primos
- Descompón cada número en producto de factores primos.
- Para el mcd, toma solo los factores comunes a todos los números, con el menor exponente.
- Para el mcm, toma todos los factores, comunes y no comunes, con el mayor exponente.
12 = 2² × 3 y 18 = 2 × 3². Los factores comunes son el 2 y el 3: con el menor exponente, mcd = 2 × 3 = 6. Todos los factores con el mayor exponente: mcm = 2² × 3² = 36.
Con tres números se hace igual:
8 = 2³, 12 = 2² × 3 y 20 = 2² × 5. El único factor común es el 2, con exponente mínimo 2: mcd = 4. Para el mcm, 2³ × 3 × 5 = 120.
Descomposición en factores primos
Para descomponer un número, se divide entre el primo más pequeño que lo divida (2, 3, 5, 7, 11…) y se repite con el cociente hasta llegar a 1.
| Número | Factores primos |
|---|---|
| 12 | 2² × 3 |
| 18 | 2 × 3² |
| 36 | 2² × 3² |
| 60 | 2² × 3 × 5 |
| 360 | 2³ × 3² × 5 |
| 97 | 97 (es primo) |
Si dos números no tienen ningún factor primo en común, su mcd es 1 y se dice que son primos entre sí. Por ejemplo, 7 y 9: mcd = 1 y mcm = 63.
Otro método: el algoritmo de Euclides
Para el mcd de números grandes, el método más rápido es el algoritmo de Euclides: se divide el mayor entre el menor, se sustituye el mayor por el resto y se repite hasta que el resto sea 0. El último divisor es el mcd. La calculadora usa este algoritmo internamente y después obtiene el mcm a partir del mcd.
mcd de 48 y 18 por Euclides: 48 entre 18 da 2 y resto 12; 18 entre 12 da 1 y resto 6; 12 entre 6 da 2 y resto 0. El mcd es 6, y el mcm es 48 × 18 / 6 = 144.
Para qué sirven
- Fracciones: el mcm de los denominadores es el denominador común más pequeño para sumar o restar fracciones, y el mcd sirve para simplificarlas. Para eso tienes la calculadora de fracciones.
- Problemas de coincidencias: dos autobuses que salen a la vez y pasan cada 12 y cada 18 minutos vuelven a coincidir a los 36 minutos (el mcm).
- Problemas de repartos: para cortar dos cuerdas de 12 y 18 metros en trozos iguales lo más largos posible, cada trozo mide 6 metros (el mcd).
Cómo usar la calculadora
- Escribe al menos dos números enteros mayores que cero.
- Si quieres, añade un tercer y un cuarto número.
Verás el mcm, el mcd y la descomposición de cada número, con los factores que se usan para cada resultado.
Qué tener en cuenta
- Solo números enteros positivos: el mcm y el mcd se definen para enteros; la calculadora admite números de hasta mil millones.
- El mcd nunca es mayor que el número más pequeño, y el mcm nunca es menor que el más grande.
- Comprobación rápida con dos números: el mcm por el mcd tiene que dar el producto de los dos números.